Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Geometrical Meaning of Numbers

기하학(Geometry)은 도형을 다루고, 대수학(Algebra)는 숫자를 다룬다. 서로 출발이 다르지만 이 둘을 결합하여 잘 이해하면 수와 기하에 대한 이해의 지평을 넓힐 수 있다. 특히 앞의 글에서 허수를 설명하였으나, 그것을 상상하는데 어려움이 있었다. 여기서는 수 특히 허수의 기하학적 의미를 알아보려 한다.

수직선(數直線, Number Line)

실수(Real Number)를 하나의 수평인 직선상에 나타내보자. 가운데 0을 나타내고, 오른쪽으로는 양수를, 왼쪽으로는 음수를 그리고 그 위치는 크기에 비례하여 배치한다. 그러면 직선상의 모든 점을 실수로 나타낼 수 있고, 각 점이 하나의 실수에 대응한다.

사칙연산의 의미

더하기와 빼기는 무엇을 의미할까? 그 수만큼 좌우로 움직이는 것이다. 아래 그림을 보자. \(y = x + 2\) 는 오른쪽으로 2칸 이동하는 것이다. 당연히, 빼기는 왼쪽으로 이동하는 것이다.

곱하기는 무엇을 의미할까? 1보다 큰수를 곱하면 0을 기준으로 그 점의 위치까지의 거리를 그 배수만큼 수직선을 늘리는 것이고, 0보다 크고 1보다 작은 값을 곱하면 그 거기를 축소하는 것이다. 아래 그림을 보자. \(y = 2 \times x\)

너무 당연하고 쉬운것을 가지고 "지금 뭐하고 있나?"라로 생각할 수 있지만, 기본 개념을 명확히 해야 복잡한 것을 이해할 힘이 생긴다.

-1의 의미

0을 곱하는 것은 모든 점을 0이라는 1개의 점으로 모으는 것이다. 그러면 -1를 곱하는 것은?

누구나 좌우를 바꾸는 것이다라고 답할 것이다. 맞는 말이지만, 좀 다르게 생각하면, 평면상에서 180도 회전하는 것으로 생각할 수 있다.

따라서 -1를 두번 곱하면 360도 회전이 되어서 원래값 \(1=(-1)\times(-1)\) 로 돌아오는 것으로 생각할 수 있다. 그렇다면 \(\sqrt{-1}\) 를 곱하는 것은? -1의 제곱근을 곱하는 것이니, 180도의 절반, 즉 90도를 회전하는 것일까?

지금까지 한 일은 수를 변환의 개념으로 이해하고, 그 변환을 시각화하였다. \(i\) 를 곱한 것을 90도 회전으로 생각하면 곱셈, 덧셈과 같은 기본 법칙을 거스르지 않는가를 따져볼 필요가 있다.

수평면(數平面, Number Plane)

수직선(Number Line)을 서로 직교하도록 수평선(Horizontal Line)과 수직선(Vertical Line)으로 놓아서 수평면을 만들어 보자. 즉 도화지에 눈금을 만들어 모눈종이를 만들어 보자. 데카르트는 수평면에 직교좌표계를 도입하여 가하학과 대수학을 연결하려는 생각을 하였다. 그래서 우리는 이 직교좌표계를 Cartesian Coordinate라고 부른다(르네 데카르트, Rene Descarte).

수평면에는 직교좌표계 이외에 극좌표계(Polar Coordinate)를 사용할 수 있다. 직교좌표계를 \((a, b)\) 로 표현하면 극좌표계는 \((r, \theta)\) 로 나타내고, 둘 사이의 관계는 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\tan(\theta) = b/a\), \(a = \cos(\theta)\), \(b = \sin(\theta)\) 이다.

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수평면을 활용하면 점, 선, 원, 삼각형, 사각형 등 기하학을 대수학의 수식으로 표현하여 고찰할 수 있게 된다.

복소 평면 (Complex Plane)

수평면의 y축을 허수축으로 구성해 보자, 즉 \(i, 2i, 3i, \cdots\) (참고로 0은 허수이기도 하고 실수이기도 하다). 이를 복소평면(Complex Plane)이라고 부른다. 이렇게 되면 \(i\) 의 위치를 상상할 수 있게 되었다. 그러면 위의 수평면과 동일하게, 임의의 \(a + bi\) 라는 복소수의 위치는 \((a, b)\) 라는 것도 알수 있게 된다. 극좌표계를 도입하면 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

\begin{align}a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)\end{align}

복소수 더하기

복소수의 더하기를 해보면 위의 그림처럼 복소평면 상의 평행사변형법칙(Parallelogram Law)이라고 하는 것을 쉽게 알 수 있다.

\begin{align}(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\end{align}

복소수 곱하기

복소수의 곱하기도 몇가지 실제 값들을 넣고 해보고 그 값들을 복소평면에 나타내 보면, 다음과 같은 중요한 사실을 알 수 있다. 복소수를 극좌표계 형태, \((r, \theta)\) 로 나타내면, 원점과 그 점을 있는 방향으로 \(r\) 배 만큼 늘리거나 축소하고, \(\theta\) 만큼 반시계 방향으로 회전시키는 것과 같다.

\begin{align}(a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)\end{align}

또는

\begin{align}r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \times r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) \\ = r_1 r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2))\end{align}

삼각함수 배각 공식(c2 = cc - ss, s2 = 2cs) 이용하면 위의 수식을 유도할 수 있다.

지금까지 두 개의 상이한 직관사이의 다리 놓기를 통해 허수를 상상해 봤다. 아직 더 가야할 길이 있다. \(e^i\) 또는 \(i^i\) 는 뭘까? 지수함수의 확장에 대해 알 필요가 있다. 이것을 배우면 드무아브로 공식, 오일러 공식에 대해서도 알게 된다.

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